MMULT 函數

Excel MMULT 函數教學

MMULT 函數 用來計算兩個矩陣的 乘積。矩陣乘法是線性代數中非常重要的運算，通常用來解線性方程組、進行數據轉換、或者在科學與工程計算中進行矩陣運算。

MMULT 函數語法

MMULT(array1, array2)

• array1（必填）：第一個矩陣（範圍）。
• array2（必填）：第二個矩陣（範圍）。

注意： 在矩陣乘法中，第一個矩陣的列數必須與第二個矩陣的行數相等。這是矩陣乘法的基本條件。

矩陣乘法的規則

• 假設矩陣 A 的大小為 $m \times n$（m 行 n 列），矩陣 B 的大小為 $n \times p$（n 行 p 列）。
• 矩陣 A 與矩陣 B 的乘積會是 $m \times p$ 的矩陣，並且其元素是按行和列進行乘積求和的結果。
• 具體來說，乘積矩陣 C 中的每個元素 $C_{ij}$ 等於矩陣 A 的第 $i$ 行與矩陣 B 的第 $j$ 列對應元素的乘積和。

例如，對於矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 和矩陣 $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$，矩陣的乘法計算方式如下：

$$C = A \times B = \begin{bmatrix} (1 \times 5 + 2 \times 7) & (1 \times 6 + 2 \times 8) \\ (3 \times 5 + 4 \times 7) & (3 \times 6 + 4 \times 8) \end{bmatrix}$$

結果是：

$$C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

MMULT 函數範例

範例 1：計算 2×2 矩陣的乘積

假設有以下兩個矩陣：

• 矩陣 A（2×2）： $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$
• 矩陣 B（2×2）： $$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

你可以使用 MMULT 函數來計算這兩個矩陣的乘積：

=MMULT(A1:B2, C1:D2)

假設 A1:B2 和 C1:D2 分別包含矩陣 A 和矩陣 B 的數值。

結果：

$$C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

這是兩個 2×2 矩陣的乘積。

範例 2：計算 3×2 矩陣和 2×3 矩陣的乘積

假設有以下兩個矩陣：

• 矩陣 A（3×2）： $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$$
• 矩陣 B（2×3）： $$B = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{bmatrix}$$

你可以使用 MMULT 函數來計算這兩個矩陣的乘積：

=MMULT(A1:B3, C1:E2)

假設 A1:B3 和 C1:E2 分別包含矩陣 A 和矩陣 B 的數值。

結果：

$$C = \begin{bmatrix} 27 & 30 & 33 \\ 61 & 68 & 75 \\ 95 & 106 & 117 \end{bmatrix}$$

這是 3×2 矩陣與 2×3 矩陣的乘積。

範例 3：計算 2×3 矩陣和 3×1 矩陣的乘積

假設有以下兩個矩陣：

• 矩陣 A（2×3）： $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$
• 矩陣 B（3×1）： $$B = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}$$

你可以使用 MMULT 函數來計算這兩個矩陣的乘積：

=MMULT(A1:C2, D1:D3)

假設 A1:C2 和 D1:D3 分別包含矩陣 A 和矩陣 B 的數值。

結果：

$$C = \begin{bmatrix} 50 \\ 122 \end{bmatrix}$$

這是 2×3 矩陣和 3×1 矩陣的乘積，結果是一個 2×1 矩陣。

如何使用 MMULT 函數

1. 在 Excel 中，選擇一個空白區域來顯示結果。這個區域的行數和列數將根據乘法結果的大小自動調整。例如，對於 2×2 的矩陣乘積，結果將會是 2×2 矩陣。
2. 在選中的區域中，輸入公式 =MMULT(array1, array2)，其中 array1 和 array2 是兩個要相乘的矩陣範圍。
3. 按 Ctrl + Shift + Enter，這樣 Excel 會計算出矩陣的乘積並將其顯示在選中的範圍中。

常見錯誤

1. #VALUE! 錯誤
   • 當矩陣的列數和行數不匹配時，會返回這個錯誤。矩陣 A 的列數必須等於矩陣 B 的行數。
   • 例如，如果矩陣 A 是 3×2，矩陣 B 是 3×3，這樣的矩陣是無法相乘的。
2. #SPILL! 錯誤
   • 如果 MMULT 函數的結果無法放入選定的範圍內，則會返回這個錯誤。確保選擇的範圍足夠大來顯示結果。

相關函數

• TRANSPOSE 函數：用來將矩陣轉置，即將矩陣的行和列交換。這對於矩陣乘法也很有用，因為矩陣的順序可能需要轉置。
  • 例如，=TRANSPOSE(A1:B2) 用來將矩陣 A1:B2 轉置。
• MINVERSE 函數：用來計算矩陣的逆矩陣。矩陣乘法經常用到逆矩陣，特別是在解線性方程組時。
  • 例如，=MINVERSE(A1:B2) 用來計算矩陣的逆矩陣。
• MDETERM 函數：用來計算矩陣的行列式。行列式為零表示矩陣不可逆，若行列式不為零，則可以計算其逆矩陣。
  • 例如，=MDETERM(A1:B2) 用來計算矩陣 A1:B2 的行列式。

結論

• MMULT 函數 是用來計算兩個矩陣乘積的強大工具，並廣泛應用於數學、科學、工程等領域中。
• 使用 MMULT 函數，你可以輕鬆地進行矩陣運算，並解決一些複雜的線性代數問題，如解線性方程組、數據轉換等。

了解如何正確使用矩陣乘法能夠幫助你在 Excel 中進行高效的數據分析與運算！