MDETERM 函數

Excel MDETERM 函數教學

MDETERM 函數 用來計算 矩陣的行列式（Determinant）。行列式是一個數學概念，用於描述方陣的某些特性，特別是在解線性方程組、矩陣求逆等方面非常有用。

在 Excel 中，MDETERM 函數可用來計算任意方陣的行列式。

MDETERM 函數語法

MDETERM(array)

• array（必填）：需要計算行列式的矩陣（方陣）。這是包含數字的區域，可以是任何大小的方陣（行數和列數相同的矩陣）。array 可以是由單個範圍或範圍組成的陣列。

數學背景

行列式是線性代數中的一個概念，與矩陣的可逆性、特徵值等有關。對於 2×2 或 3×3 的矩陣，行列式有簡單的計算公式，而對於更高維度的矩陣，則需要較為複雜的算法來計算。

• 2×2 矩陣的行列式計算：對於矩陣

  $$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$行列式的計算公式為：

  $$\text{Determinant} = ad – bc$$

• 3×3 矩陣的行列式計算：對於矩陣

  $$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$行列式的計算公式為：

  $$\text{Determinant} = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)$$

MDETERM 函數範例

範例 1：計算 2×2 矩陣的行列式

假設有一個 2×2 矩陣：

$$\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$$

你可以使用 MDETERM 函數來計算這個矩陣的行列式：

=MDETERM(A1:B2)

假設 A1:B2 是包含數字 3, 4, 2, 5 的範圍。

結果：

7

解釋：行列式計算為 $(3 \times 5) – (4 \times 2) = 15 – 8 = 7$。

範例 2：計算 3×3 矩陣的行列式

假設有一個 3×3 矩陣：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

你可以使用 MDETERM 函數來計算這個矩陣的行列式：

=MDETERM(A1:C3)

假設 A1:C3 是包含數字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 的範圍。

結果：

0

解釋：行列式計算為 0，這表示該矩陣是 奇異矩陣（singular matrix），即該矩陣不可逆。

範例 3：計算 4×4 矩陣的行列式

假設有一個 4×4 矩陣：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$$

你可以使用 MDETERM 函數來計算這個矩陣的行列式：

=MDETERM(A1:D4)

假設 A1:D4 是包含數字 1, 2, 3, 4, 0, 5, 6, 7, 0, 0, 8, 9, 0, 0, 0, 10 的範圍。

結果：

400

解釋：行列式計算為 400，這是由於這個矩陣的結構比較簡單，且具有對角線元素的積。

常見錯誤

1. #VALUE! 錯誤
   • 當提供的 array 不是有效的矩陣範圍或包含非數字值時，會返回這個錯誤。
   • 例如，如果矩陣包含文字或空白，將無法計算行列式。
2. #NUM! 錯誤
   • 當矩陣的行數和列數不相等時，會返回這個錯誤。MDETERM 函數只對方陣有效（行數等於列數）。

相關函數

• MINVERSE 函數：用來計算矩陣的逆矩陣。如果矩陣的行列式為零（即矩陣不可逆），則該函數會返回錯誤。
  • 例如，=MINVERSE(A1:C3) 用來計算範圍 A1:C3 的矩陣的逆。
• MMULT 函數：用來計算兩個矩陣的乘積，這是一個非常常見的矩陣操作。
  • 例如，=MMULT(A1:B2, C1:D2) 用來計算兩個矩陣的乘積。
• TRANSPOSE 函數：用來將矩陣轉置，即將矩陣的行和列交換。
  • 例如，=TRANSPOSE(A1:B2) 用來將矩陣 A1:B2 轉置。

結論

• MDETERM 函數 是一個用來計算矩陣行列式的有力工具。行列式對於理解矩陣的性質，如可逆性、解線性方程組等問題非常重要。
• 這個函數適用於任意大小的方陣（行數和列數相同的矩陣）。
• 如果行列式為零，表示該矩陣是奇異矩陣，不可逆。

通過學習和使用 MDETERM 函數，你可以在 Excel 中高效地計算行列式並解決各種線性代數問題。